<T->
          Projeto Radix
          Matemtica 8 ano
 
          Jackson Ribeiro

          Impresso Braille em 
          11 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio, Editora 
          Scipione S.A., So 
          Paulo, 2011. 
          
          Terceira Parte  
   
          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350/368
          Urca -- 22290-240
          Rio de Janeiro -- RJ 
          Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444 
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,          
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2013 --
<P>
          Ttulo original: Projeto 
          Radix -- Matemtica -- 8 ano
          Copyright (C) 
          Jackson Ribeiro

          ISBN 978-85-2627303-0

          Gerncia editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Carlos Augusto Rodrigues Lima

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
          Av. Otaviano Alves de 
          Lima, 4.400
          6 andar e andar intermedirio ala "B" Freguesia do 
          CEP 02909-900 -- 
          So Paulo -- SP
          Caixa Postal 007
          Vendas: Tel.: (11) 3990-1788
          ~,www.scipione.com.br~,
          E-mail: ~,scipione@scipione.~ 
          com.br~,
                                I
Sumrio

Terceira Parte

Mdulo 3

<F->
Captulo 5 -- ngulos 
Para comear ::::::::::::::: 215 
ngulos complementares e  
  suplementares ::::::::::::: 217 
ngulos opostos pelo 
  vrtice ::::::::::::::::::: 225
ngulos formados por 
  retas paralelas e uma 
  transversal ::::::::::::::: 234 
Bissetriz de um 
  ngulo :::::::::::::::::::: 251 
Complementando... :::::::::: 260 
Algo a mais :::::::::::::::: 265 
  Os ngulos e a histria 

Captulo 6 -- Polgonos 
Para comear ::::::::::::::: 270 
Diagonais de um 
  polgono :::::::::::::::::: 271 
ngulos de um polgono ::::: 278 
Complementando... :::::::::: 290 
Algo a mais :::::::::::::::: 295 
  O que so os fractais? 
Atividades de reviso :::::: 298 
Lendo textos ::::::::::::::: 308 
  Astronomia a olho nu 
<F+>
<72>
<tp. radix mat. 8>
<T+215>
Mdulo 3

Captulo 5 -- ngulos 

<R+>
_`[{o contedo deste captulo, bem como as atividades propostas, so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]
<R->

Para comear

  Dentre os jogos comumente encontrados nos *shopping centers* e em 
lojas de *games* est o 
 *hquei* de mesa ou *air hockey* (fotografia). _`[{no adaptada_`]
Composto de uma mesa com superfcie lisa, ele  disputado por dois 
jogadores que batem em um disco, com uma espcie de pequeno taco, 
com o objetivo de coloc-lo no gol adversrio. 
  A fim de reduzir o atrito do disco com a superfcie da mesa, existem 
pequenos furos que soltam jatos de vento, formando uma almofada 
de ar sobre ela. Com isso, o disco flutua e os jogadores precisam ser 
rpidos e ter bons reflexos para defender e fazer gols. Conhecer o 
movimento que o disco faz ao ricochetear nas bordas  fundamental 
para ter sucesso nas jogadas, uma vez que ele bate vrias vezes na 
borda da mesa durante uma partida, e em alta velocidade. 

<R+>
1. Voc j jogou hquei de mesa alguma vez? Quais outros jogos de mesa voc gosta de jogar? 
 2. Quais as semelhanas entre o hquei de mesa e o hquei praticado nas pistas de gelo? Se necessrio, 
realize uma pesquisa para conhecer mais acerca do 
  hquei sobre o gelo. 
 3. Como voc acha que  o movimento do disco ao bater na borda da mesa? 
<R->
 
<73>
<P>
ngulos complementares e
  suplementares

  Nas imagens a seguir esto re- presentados o ngulo :?{a{o{b*, medindo 48}, e o ngulo :?{d{o{e*, medindo 135}. 

<F->
           B 
           
         
                                                    
       
       
      48}  
   --------------  
  O            A
<F+>
    
<F->
  E
   e
    e
     e
      e
       e                                                 
        e 135}
         e--------------- 
         O            D
<F+>
<P>
  Em seguida, a partir da semirreta {o{a, construmos um ngulo :?{a{o{c*, medindo 90}, e a partir da semirreta {o{d, 
construmos um ngulo :?{d{o{f*, medindo 180}. 

<F->
   C       B
   l                     
   l      
   l        
   l                                                                           
   l   
   l  
   l 
   l 48}
   v-------------                                                                            
  O           A
<F+>
<P>
<F->
     E
      
       
        
         
             
           
             135}
  -------------------- 
  F        O       D
<F+>

  Note que a soma das medidas de :?{a{o{b* e :?{b{o{c*  90}. Nesse caso, dizemos que :?{a{o{b* e :?{b{o{c* so
complementares. Na figura o ngulo :?{a{o{b*  o complementar de :?{b{o{c* e vice-versa.
  Note que a soma das medidas de :?{d{o{e* e :?{e{o{f* so suplementares. Na figura, o ngulo :?{d{o{e*  o suplementar de
:?{e{o{f* e vice-versa.
  Podemos determinar a medida dos ngulos :?{b{o{c* e :?{e{o{f* realizando os clculos a seguir. 

med`(:?{b{o{c*`)=med`(:?{a{o{c*`)-
  -med`(:?{a{o{b*`) 
 med`(:?{b{o{c*`)=90}-48} 
 med`(:?{b{o{c*`)=42} 
 med`(:?{e{o{f*`)=med`(:?{d{o{f*`)- 
  -med`(:?{d{o{e*`) 
 med`(:?{e{o{f*`)=180}-135} 
 med`(:?{e{o{f*`)=45} 

Saiba que... 

Dois ngulos so: 
<R+>
 complementares quando a soma de suas medidas  90}. 
 suplementares quando a soma de suas medidas  180}. 
<R->

<74>
  Os ngulos :?{a{o{b* e :?{b{o{c* a seguir so suplementares. 
<P>
<F->
       B 
        
         
          
           
            
    12x+3}  5x-10}
  --------------------- 
  C         O       A
<F+>

  Podemos obter as medidas desses ngulos da seguinte maneira. 

<R+>
<F->
 Como os ngulos :?{a{o{b* e :?{b{o{c* so suplementares, a soma deles  igual a 180}. Assim, escrevemos a equao e ob- temos o valor de *x*. 
5x-10}+12x+3}=180}
17x-7}=180}
17x-7}+7}=180}+7}
17x17=187}17
x=11}
<F+>

 Depois de resolver a equao e determinarmos o valor de *x*, 
<P>
  calculamos a medida de cada ngulo. 
<R->

ngulo :?{a{o{b*

<F->
med`(:?{a{o{b*`)=12x+3}
med`(:?{a{o{b*`)=12.11}+3}
med`(:?{a{o{b*`)=132+3}
med`(:?{a{o{b*`)=135}
<F+>

ngulo :?{b{o{c*

<F->
med`(:?{b{o{c*`)=5x-10}
med`(:?{b{o{c*`)=5.11}-10}
med`(:?{b{o{c*`)=55}-10}
med`(:?{b{o{c*`)=45}
<F+>

Atividades 

<R+>
_`[{para as atividades 1 e 2, pea orientao ao professor_`]

1. Utilizando um transferidor, mea cada um dos ngulos. _`[No adaptados_`] Depois, escreva em seu caderno o complemento e o suplemento de cada um deles. 
<75>
<P>
 2. Sem realizar medies, escreva no caderno quais so os pares de ngulos suplementares. _`[No adaptados_`] 
 Agora, utilizando um transferidor, mea cada um deles e verifique se sua resposta est correta. 
 3. Determine as medidas dos ngulos indicados nas figuras a seguir. 
<R->

_`[{figuras adaptadas_`]

<F->
                B
                 
               
              
              
            
 ------------------  
 C       O      A   

med:?{a{o{b*=3x 
med:?{b{o{c*=6x
<P>
         F       E              
          _             
          _             
          _            
          _   
          _              
          _            
          _             
  ---------------- 
  G      O     D
<F+>
           
med:?{d{o{e*=7x-12} 
 med:?{e{o{f*=5x+18} 
 med:?{f{o{g*=90}
<F->

     M              L
                  ^       
                ^
              ^
            ^
          ^ 
   ccccccccccccccccc 
   N      O     H
<F+>
  
<F->
med:?{h{o{l*=2x-7}
med:?{l{o{m*=90} 
med:?{m{o{n*=4x+1}
<F+>

<F->
    R             Q
                 ^       
               ^
             ^
           ^
         ^ 
  ccccccccccccccccc 
  S     O      P

med:?{p{o{q*=2x+8} 
med:?{q{o{r*=4x-1} 
med:?{r{o{s*=6x-7}
<F+>

Desafio
<R+>
4. Os ngulos :a e :b so complementares. Sabendo que a medida de :a  o dobro da medida de :b, obtenha a medida de cada um deles.  
<R->

<76>
ngulos opostos pelo vrtice 

  As retas *r* e *t* a seguir so concorrentes. Ao se cruzarem, elas formam quatro ngulos.
<P>
<F->
                  r
  ^            ^
    ^  :b   ^
      ^    ^
   34} ^^ :a
        ^^
      ^    ^
    ^        ^
  ^            ^
                  t
<F+>

  Veja como podemos obter a medida do ngulo :a, sem utilizar transferidor. 

<F->
                  r
  ^            ^
    ^  :b   ^
      ^    ^
        ^^ :a
        ^^
      ^    ^
    ^        ^
  ^            ^
                  t
<F+>

med`(:b`)+med`(:a`)=180}

  Note que os ngulos :b e :a so suplementares, ou seja: 

<F->
                  r
  ^            ^
    ^  :b   ^
      ^    ^
   34} ^^ 
        ^^
      ^    ^
    ^        ^
  ^            ^
                  t
<F+>

med`(:b`)+34}=180}

  Note que o ngulo :b e o ngulo de 34} tambm so suplementares. 
  Como med`(:b`)+med`(:a`)  igual a med`(:b`)+34}, temos:

<F->
<R+>
med:b+med:a=med:b+34}
med:b+med:a-med:b=
  =med:b+34}-med:b
med:a=34}
<R->
<F+>

<R+>
Portanto, med`(:a`)  igual a 34}.
 De acordo com as informaes anteriores, podemos dizer que med`(:b`)  igual a med`(:c`)? 
 Qual  a medida de cada um desses ngulos?  
<R->

Saiba que... 

  Na figura a seguir, os pares de ngulos :a e :b, :c e :d so chamados opostos pelo vrtice. 

<F->
                  r
  ^            ^ 
    ^  :c   ^
      ^    ^
    :a ^^ :b
        ^^
      ^    ^
    ^  :d   ^
  ^            ^ 
                  t
<F+>

  Dois ngulos opostos pelo vrtice tm medidas iguais. 
<P>
  Assim: 
 med`(:a`)=med`(:b`)
 med`(:c`)=med`(:d`)

<77>
Atividades 

<R+>
5. Sem utilizar transferidor ou outro instrumento, determine a medida de cada um dos ngulos indicados nas figuras. 
<R->

_`[{figuras adaptadas_`]

<F->                        
 e                 i
   e             i
     e  74}   i
       e     i
  :b    e i    :c  
         i e
       i     e
     i   :a   e      
   i             e
<F+>
<P>
<F->
                   i                                               
                 i                  
               i              
        :d  i :e           
-----------i-------------------- 
    38} i  :f     :g  105}
       i                
     i                
                     
<F+>

<F->
            l             
            l             
            l:n         
            l   
            l              
            l            
       90} l :o          
 ------------------------
      34} l           
           l
           l
           l
<F+> 
<P>
<F->
                  _  ^
              :j _^
                 _ 115}
               ^ _
             ^   _
           ^  :l_
         ^       _
   :h ^ 25}    _ :m
----------------#------
   ^ :i         _
 ^               _
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
 6. No caderno, efetue os clculos necessrios e determine a medida dos ngulos indicados. 
<R->
<P>
<F->
a)
    ^            ^
      ^        ^
        ^    ^
   x+18} ^^ 3x
          ^^
        ^    ^
      ^        ^
    ^            ^

b)
    ^            ^
      ^ 4x+9}^
        ^    ^
          ^^ 
          ^^
        ^    ^
      ^5x-21}^
    ^            ^
<P>
c)
    ^            ^
      ^        ^
        ^    ^
  4x-2} ^^ 2x+20}
          ^^
        ^    ^
      ^        ^
    ^            ^

d)
    ^            ^
      ^7x+30}^
        ^    ^
          ^^ 
          ^^
        ^    ^
      ^6x+45}^
    ^            ^

Desafio
<R+>
7. Na figura a seguir, a soma das medidas dos ngulos :a e :c  igual a 102}. Qual  a medida de :b?  
<R->
<P>
<F->
_`[{figura adaptada_`]

    ^            ^
      ^        ^
        ^ :b^
      :a ^^ :c
          ^^
        ^    ^
      ^        ^
    ^            ^
<F+>

<78>
ngulos formados por retas 
  paralelas e uma transversal 

  Na imagem a seguir, as retas *r* e *s* so paralelas e a reta *t* cruza essas duas paralelas, formando vrios ngulos. 
  Os pares de ngulos indicados com a mesma cor so chamados de ngulos correspondentes.
<P>
Legenda: 
 :a e :e: Verde
 :b e :f: Amarelo
 :c e :g: Vermelho
 :d e :h: Azul

<F->
       t
        
            
      :a  :d  
r --------------------------
        :b  :c
                
                 
           :e  :h
s --------------------------
             :f  :g
                   
<F+>

  Utilizando um transferidor, mea os seguintes pares de ngulos. 
 :a e :e
 :b e :f
 :c e :g
 :d e :h
<P>
  As medidas que voc obteve para cada par de ngulos so iguais ou diferentes? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
 
Saiba que... 

  Quando dois ngulos correspondentes so formados por uma reta transversal que cruza retas paralelas, esses ngulos possuem medidas iguais. 
<P>
Retas paralelas 

r_ls

<F->
       t
        
            
      :a  :d  
r --------------------------
        :b  :c
                
                 
           :e  :h
s --------------------------
             :f  :g
                   
<F+>

<R+>
 Nessa imagem, as retas *r* e *s* so paralelas. Portanto: 
<R->
 med`(:a`)=med`(:e`)
 med`(:b`)=med`(:f`)
 med`(:c`)=med`(:g`)
 med`(:d`)=med`(:h`)

  Contudo, quando as retas no so paralelas, as medidas dos n-
<P>
gulos correspondentes so diferentes. 

Retas no-paralelas 

<F->
  t
             ^
           ^
     :d ^
  :a  ^
       :c
    ^  
r ^ :b 
          
           
            
         :e  :h
s ------------------
           :f  :g
                
                 
<F+>

<R+>
 Nessa imagem, as retas *r* e *s* no so paralelas. Portanto: 
 med`(:a`)=med`(:e`)
 med`(:b`)=med`(:f`)
<P>
 med`(:c`)=med`(:g`)
 med`(:d`)=med`(:h`)
<R->

<79>
  Utilizando um transferidor, podemos verificar que a medida do ngulo da figura a seguir  47}. 

r_lt

<F->
                  t
                 ^
               ^
r :::::::::::^::::::
      47} ^
         ^
       ^ :a
s :::^::::::::::::::
   ^
 ^ 
<F+>

  Tambm podemos determinar a medida do ngulo sem fazer medies. Para isso, vamos indicar na figura o ngulo :c, que  igual 
a 47}, pois :c e 47} so ngulos opostos pelo vrtice. 
<P>
  Como :c e :a so ngulos correspondentes, a medida de :a  47}. 

<F->
                  t
                 ^
               ^ :c
r :::::::::::^::::::::
      47} ^
         ^
       ^ :a
s :::^::::::::::::::::
   ^
 ^ 
<F+>

Saiba que... 

  Na figura a seguir, os ngulos :b e :h so chamados alternos internos e os ngulos :d e :f, alternos externos. 

<F->
<P>
                      t
                     ^
               :a ^ :d
r :::::::::::::::^::::::::
           :b ^ :c
             ^
       :e ^ :h
s :::::::^::::::::::::::::
   :f ^ :g
     ^ 
<F+>

  Quando esses ngulos so formados por retas paralelas, como na figura a seguir, eles possuem medidas iguais. 

<F->
  t
   ^
     ^
   :a ^ :d
r :::::::^:::::::::::::::::
       :b ^ :c
             ^
           :e ^ :h
s :::::::::::::::^:::::::::
               :f ^ :g
                     ^
<F+>

 alternos internos 
  med`(:b`)=med`(:h`) 
  med`(:c`)=med`(:e`) 
 alternos externos 
  med`(:d`)=med`(:f`) 
  med`(:a`)=med`(:g`) 

  Quando esses ngulos so formados por retas 
no-paralelas, como na figura a seguir, eles possuem medidas diferentes. 

<F->
  t
             ^
           ^
     :d ^
  :a  ^
       :c
    ^  
r ^ :b 
          
           
            
         :e  :h
s ------------------
           :f  :g
                
                
<F+>
 alternos internos 
  med`(:d`)=med`(:f`) 
  med`(:a`)=med`(:g`)
 alternos externos 
  med`(:d`)=med`(:f`)
  med`(:a`)=med`(:g`)

<80>
  Utilizando os conceitos vistos at o momento, 
podemos obter a medida do ngulo :x indicado na 
figura a seguir sem fazer medies. 

<F->
r_lt

             
      135} 
r ::::::::::::::::::::::
          
         
         :x
        
         
     42} 
t ::::::::::::::::::::::
            
             
<F+>
<P>
  Inicialmente, traamos uma reta *s* que passe pelo 
vrtice do ngulo :x e seja paralela s retas *r* e *t*. 
Depois, indicamos os ngulos :a e :b. 

_`[{figura no adaptada_`]

  Determinamos a medida dos ngulos :a e :b e adicionamos os resultados. 

_`[{figura no adaptada_`]

<F->
:x=:a+:b
:x=45}+42}
:x=87}
<F+>
 
Atividades 

<R+>
8. De acordo com a figura a seguir, escreva no caderno dois pares de ngulos: 
<R->
<P>
<F->
                      t
                     ^
               :a ^ :d
r :::::::::::::::^::::::::
           :b ^ :c
             ^
       :e ^ :h
s :::::::^::::::::::::::::
   :f ^ :g
     ^ 
<F+>

 correspondentes 
 alternos internos  
 opostos pelo vrtice 
 alternos externos  

<R+>
9. Utilizando esquadros e um transferidor, Flvia construiu a figura a seguir. De acordo com essa figura, 
responda no caderno  pergunta que ela est fazendo. 
<R->

<R+>
_`[{flvia diz: "Quais so as medidas dos ngulos :a, :b, :c, :d e :e, sabendo que as 
retas *m*, *n* e *o* so paralelas?"_`]
<R->
<P>
<F->
       m         n          o
       l         l          l
       l :d     l :b      l92}
r :::::r:::::::::r::::::::::r:::::
       l         l          l
       l         l          l
   :e l         l :c      l
s :::::r:::::::::r::::::::::r:::::
       l         l93}  :a l
       l         l          l
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<81>
<R+>
10. Em relao  figura a seguir, apenas uma das 
afirmaes  falsa. Descubra qual  essa afirmao e reescreva-a em seu caderno corrigindo-a. 
<R->
<P>
<F->
     u                    v
                         _
   :a  115}        :e _   
r :::::::::::::::::::::::w:::::::         
                         _
                         _
      65}  :b          _ 85}
s :::::::::::::::::::::::w:::::::
                     :f _ :g
                         _         
           :c           _ :h  
t :::::::::::::::::::::::w:::::::
           115}         _
                         _
<F+>

<R+>
 A medida do ngulo :b  115}.  
 As retas *r*, *s* e *t* so paralelas. 
 Os ngulos :e e :h so suplementares. 
 O ngulo :a e o ngulo :c so correspondentes. 
 O ngulo :c mede 60}. 
 Os ngulos :f e :g medem juntos 180}.
<R->
<P>
<R+>
11. No caderno, efetue os clculos necessrios e 
obtenha a medida de cada um dos ngulos indicados. 
<R->
<F->
a)
r_ls

     t
      
       
          
            
r :::::::::::::::::::::::
       7x  
               
                
               3x+20}
s :::::::::::::::::::::::
                   
                  
                  
                   
<F+>
<P>
<F->
b)
m_ln
                  p
                 
                 4x-7}  
m :::::::::::::::::::::::
                      
             
            
   5x+7} 
n ::::::::::::::::::::::
         
         
<F+>
<P>
<F->
c)
j_lk
                e    f
                i    
               i      
              i        
             i          
j ::::::::::i::::::::::::::::::::
   3x+1} i              
          i                
         i                  
        i                    
k :::::i:::::::::::::::::::::::::
      i 5x+3}        5x+3}  
     i                          
    i                            
                                 
<F+>
<R+>
_`[{para as atividades 12 e 13, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
12. Determine a medida do ngulo :x indicado em cada item. _`[{no adaptado_`]
<R->

<R+>
Ateno: As linhas tracejadas representam retas paralelas imaginrias. 
<R->
<P>
<R+>
13. (OBM) Na figura, _`[no adaptada_`] o lado ^c?{a{b* do tringulo equiltero {a{b{c  paralelo 
ao lado ^c?{d{g* do quadrado {d{e{f{g. Qual  o valor do ngulo :x? 
<R->
 a) 80}
 b) 90}
 c) 100}
 d) 110}
 e) 120}

<82>
Bissetriz de um ngulo

  A professora de Matemtica pediu aos 
alunos do 8 ano que construssem um ngulo 
medindo 72} em uma folha de papel. Em 
seguida, ela pediu a eles que recortassem o 
ngulo e dividissem-no ao meio, conforme 
representado no quadro. _`[No adapatado_`] 
  Ao desdobrar a folha, o ngulo ficou dividido ao meio pela 
marca da dobra. Cada uma das partes mede 36}, ou seja, 72}2, e a 
<P>
marca da dobra corresponde  bissetriz do ngulo. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Saiba que... 
 
  Na figura a seguir, a semirreta {o{e divide o ngulo :?{a{o{b* em duas partes iguais. 
Essa semirreta  chamada bissetriz do ngulo :?{a{o{b*. 

<F->
       B
          E
         ^
       ^
     ^
   ^
  --------- 
  O       A    
<F+>
<P> 
Atividades 

<R+>
_`[{para as atividades de 14 a 16, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
14. Utilizando um transferidor, construa no caderno os ngulos cujas medidas esto indicadas a seguir.
Em seguida, trace a bissetriz de cada um deles.
 a) med`(:?{a{o{b*`)=48}
 b) med`(:?{c{o{d*`)=76}
 c) med`(:?{p{o{q*`)=34} 
<R->
<R+>
 Veja, no *Caderno de recursos*, como traar a bissetriz de um ngulo utilizando rgua e compasso.
<R->

<R+>
15. Na figura, _`[no adaptada_`] a semirreta {o{b  bissetriz do ngulo :?{a{o{c* e a semirreta {o{d  bissetriz do ngulo 
:?{c{o{e*. De acordo com essas informaes, calcule a medida dos ngulos: 
<R->
 a) :?{a{o{c*
 b) :?{b{o{d*
 c) :?{c{o{e*
 d) :?{a{o{e*

<83>
<R+>
16. Mrcia traou uma linha azul em seu caderno e construiu um ngulo de 52} a partir dessa linha. Depois, em relao 
 linha azul, ela construiu um ngulo simtrico ao ngulo de 52}. 
 Responda no caderno s seguintes questes: 
 a) Qual  a medida do ngulo que Mrcia desenhou no outro lado da linha azul? 
 b) Qual  a soma das medidas desses ngulos? 
 c) Podemos dizer que a linha azul  a bissetriz do ngulo formado?  
<R->

<R+>
17. Qual deve ser o valor de *x* para que a semirreta {p{m seja a bissetriz de :?{n{p{l*? 
<R->
<P>
_`[{figura adaptada_`]

<F->
 L          M
  ?          *
   ?        *
    ?      *
     ?    *
      ?  *
       ?* 
       ccccccccccc 
       P       N
       
med:?{l{p{m*=x2+53}
med:?{m{p{n*=7x+2}
<F+>

<R+>
18. As semirretas :,?{o{e* e :,?{o{f* so bissetrizes dos ngulos indicados. No caderno, efetue os clculos 
necessrios e obtenha a medida dos ngulos :?{a{o{b* e :?{c{o{d*.
<R->
<P>
_`[{figuras adaptadas_`]

<F->
        O         A
        ------------ 
        e
         e
          e
           e
            e
             e
              e
 B             E 

med:?{b{o{e*=5x
med:?{a{o{e*=3x+26}
<F+>

<F->
 L          M
  ?          *
   ?        *
    ?      *
     ?    *
      ?  *
       ?* 
       ccccccccccc 
       P       N

med:?{d{o{f*=7x-2}
med:?{f{o{c*=x+34}
<F+>
<P>
<R+>
19. No tringulo a seguir, o segmento de reta {c{d  bissetriz do ngulo :?{a{c{b*. Qual  a medida dos ngulos 
 :?{a{b{c* e :?{a{c{b*?
<R->

<F->
_`[{figura adaptada_`]

                  C
                  
                ^
              ^ _  
            ^   _   
          ^     _    
        ^       _     
      ^         _      
    ^           _           
  ^             _           
 ^ccccccccccccccccc                            
 B       D     A
<F+> 
    
<F->
med:?{a{c{d*=x+15} 
med:?{d{c{b*=2x-5} 
med:b=x
<F+>
<P>
<R+>
_`[{para as atividades 20 a 22, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
20. Na figura _`[no adaptada_`] a semirreta {q{s  bissetriz de :?{r{q{t* e a semirreta {q{t  bissetriz de :?{s{q{u*. O que se pode afirmar sobre: 
 a) med`(:?{r{q{s*`) em relao a med`(:?{t{q{u*`)?
 b) med`(:?{r{q{s*`) em relao a med`(:?{s{q{u*`)?
 c) med`(:?{r{q{s*`) em relao a med`(:?{r{q{u*`)?
<R->

<R+>
21. Na figura _`[no adaptada_`] a semirreta {o{b  bissetriz do ngulo :?{a{o{c* e a semirreta {o{c  bissetriz do ngulo 
:?{a{o{d*. Qual  a medida do ngulo :?{b{o{d*?
<R->
<R+>
 22. No tringulo a seguir, a medida do ngulo :a  30} e o segmento {c{d  bissetriz do ngulo :?{a{c{b*. Qual  a medida do ngulo :?{a{d{c*?  
<R->
<P>
_`[{figura adaptada_`]
  
<F->
                  C
                  
                ^
              ^ _  
            ^   _   
          ^     _    
        ^       _     
      ^         _      
    ^           _           
  ^             _           
 ^ccccccccccccccccc                            
 A       D     B
<F+>

<R+>
23. (Cefet-MG) Se os #:d da medida do suplemento de um ngulo  igual a 75}, qual  a medida desse ngulo?  
<R->
 a) 135} 
 b) 56,25} 
 c) 60} 
 d) 100} 
 e) 80} 
<84>
<P>
Complementando...
 
<R+>
24. Resolva os itens a seguir em seu caderno. 
 a) Se o ngulo :a mede *x* e seu complementar 
mede o triplo, quais as medidas de :a e de seu complementar?  
 b) O ngulo :b  suplementar de :c. Sabendo que 
med`(:b`)=  =x+32} e med`(:c`)=3x, quanto medem os ngulos :b e :c?  
 c) Os ngulos :d e :f so complementares. A medida de :f  cinco 
vezes a medida de :d. Qual  a medida do ngulo suplementar de :d? 
<R->

<R+>
25. Pedro fez o desenho. _`[{no adaptado_`]
 Sabendo que med`(:?{a{g{b*`)= 
  =med`(:?{f{g{e*=50} e que 
  med`(:?{a{b{g*`)=med`(:?{c{b{d*`), 
  qual  a medida :?{g{b{d*?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R+>
26. Sabendo que a soma das medidas de dois ngulos 
opostos pelo vrtice  54}, qual  a medida 
do complementar desse ngulo? E do suplementar? 
 27. Determine a medida dos ngulos :a, :b e :c 
no paralelogramo representado a seguir. 
<R->

<F->
      ccccccccccccccm
      110}    :a 
                  
                 
   :c      :b                 
 --------------
<F+>

<R+>
28. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal 
formam 
  ngulos alternos internos cujas medidas 
so 2x+30} e 4x-20}. 
  Determine as medidas desses ngulos. 
<R->

<R+>
29. Considere um ngulo :?{a{o{b* de bissetriz :,?{o{e*.
<P>
 a) Se :?{a{o{b* for reto, quanto  med`(:?{a{o{e*`)? E se :?{a{o{b* for raso? 
 b) Se med`(:?{a{o{b*`)=27}, quanto  med`(:?{b{o{e*`)? E se :?{a{o{b* for raso? 
 c) Se med`(:?{b{o{e*`)=36}, quanto  med`(:?{a{o{b*`)? 
<R->

<R+>
_`[{para as atividades 30 a 32, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
30. Na figura a seguir, os ngulos :b e :e so chamados colaterais internos e os ngulos :d e :g 
colaterais externos. 
<R->
<P>
<F->
_`[{figura adaptada_`]

r_ls

                      t
                     ^
               :a ^ :d
r :::::::::::::::^::::::::
           :b ^ :c
             ^
       :e ^ :h
s :::::::^::::::::::::::::
   :f ^ :g
     ^ 
<F+>

<R+>
 a) Qual  o outro par de ngulos colaterais internos? E de colaterais externos?  
 b) Calcule: 
 med`(:b`)+med`(:e`) 
 med`(:c`)+med`(:h`) 
 c) O que se pode afirmar sobre a soma das medidas 
dos ngulos colaterais internos?  
 d) Calcule: 
 med`(:a`)+med`(:f`) 
 med`(:d`)+med`(:g`)
<P>
 e) O que se pode afirmar sobre a soma das medidas 
dos ngulos colaterais externos? 
 f) Os ngulos colaterais, formados por uma transversal 
que cruza retas paralelas, so complementares 
ou suplementares?
<R->

<R+>
31. As retas *r* e *s* na figura a seguir so paralelas? Justifique. 
<R->

_`[{figura adaptada_`]

<F->
     s        r
     ^        ^
       ^        ^ 
    44} ^        ^ 133}
t :::::::::^::::::::^::::::::
             ^        ^
               ^        ^

<F+>
<P>
<R+>
Desafio
 32. Qual  a medida do ngulo entre as bissetrizes dos ngulos :?{a{o{d* e :?{c{o{d*? 
<R->

<F->
_`[{figura adaptada_`]

   B              C
                  
                 
                
               
              
             
             
  ----------------- 
  A      O       D

med:?{a{o{b*=51}
med:?{c{o{d*=45}
<F+>

<85>
Algo a mais 

Os ngulos e a histria

  Por volta de 600 a.C., o matemtico, astrnomo, filsofo e engenheiro Tales 
deu incio aos seus estudos da Geometria. 
  Tales viveu entre 624 e 548 a.C. e, como nasceu na cidade de Mileto, na 
Grcia, ficou conhecido como Tales de Mileto. 
  Ele foi o primeiro matemtico a provar de maneira lgica que dois ngulos 
opostos pelo vrtice possuem a mesma medida. Antes de Tales, tal fato era 
verificado recortando os ngulos e sobrepondo um ao outro, como representado 
na imagem. _`[{no adapatada_`]
  Demonstrar que ngulos opostos pelo vrtice possuem a mesma medida foi apenas 
um entre os diversos feitos de Tales. Devido  sua inteligncia, Tales de Mileto 
 considerado um dos sete sbios da Antiguidade. 
  Outro matemtico que dedicou parte de seus estudos  Geometria foi 
Euclides. Esse matemtico, por volta de 300 a.C., publicou uma importante 
obra composta de 13 livros, chamada *Elementos*. Nessa obra, Euclides reuniu 
grande parte do que se sabia na poca sobre lgebra, Aritmtica e 
principalmente Geometria. 
  Os *Elementos* trazem um estudo detalhado sobre a Geometria, mostrando 
os resultados encontrados em forma de proposies, ou seja, teoremas. 
Veja uma das proposies encontradas nos *Elementos* de Euclides. 

<R+>
Proposio 27. Sejam (num mesmo plano) *r* e *s* duas retas cortadas por 
uma transversal *t*. Se os ngulos alternos internos *a* e *b* so iguais, as 
retas *r* e *s* so paralelas. 
<R->
<P>
_`[{figura adaptada_`]

<F->
                      t
                     ^
                   ^
r :::::::::::::::^::::::::
               ^ :a
             ^
       :b ^ 
s :::::::^::::::::::::::::
       ^ 
     ^ 
<F+>

<R+>
VILA, Geraldo. Legendre e o postulado das paralelas. *Revista do Professor de matemtica*. So Paulo: SBM, n.o 22, 1992. p. 20.
<R->

<R+>
1. De acordo com o texto, o que Tales de Mileto provou em relao aos ngulos opostos 
pelo vrtice?  
 2. Euclides publicou uma importante obra chamada *Elementos* composta de 13 livros. 
Quais assuntos eram tratados nessa obra? 
 3. Em sua opinio, qual a importncia da Geometria no seu cotidiano? 
<R->

               oooooooooooo

<86> 
<P>
Captulo 6 -- Polgonos

<R+>
_`[{o contedo deste captulo, bem como as atividades propostas, so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]
<R->

Para comear

  Ao apertarmos um parafuso ou uma porca, em geral, no os giramos 
uma volta completa 360}. Isso acontece porque em algumas 
situaes o espao de trabalho  apertado. Por esse motivo, algumas 
porcas e "cabeas" de parafusos tm formas que lembram polgonos 
regulares, como tringulos, quadrados e hexgonos. Ao girar uma porca 
com formato quadrangular, por exemplo,  possvel fazer movimentos 
mais curtos, de 90}, at apert-la. 
  Os parafusos sextavados, ou seja, que tm a "cabea" no formato de 
hexgonos, so bastante utilizados por profissionais que dispem de 
espao apertado para trabalhar, pois os movimentos so ainda mais 
curtos, com giros de 60}. 

<R+>
<F->
1. Que profissionais, em geral, utilizam parafusos e porcas? 
2. Escreva o nome dos polgonos que so citados no texto. 
3. Por que voc acha que  possvel apertar parafusos sextavados dando giros de 60}? 
<F+>
<R->

<87>
Diagonais de um polgono 

  Estudamos em anos anteriores que um polgono  uma figura geomtrica plana,  
cujo contorno  formado por segmentos de reta que no se cruzam. Observe alguns 
polgonos. 

<R+>
_`[{polgonos: tringulo, quadriltero e decgono_`]
<R->

  No polgono _`[no adaptado_`] foi traado, em azul, um segmento 
de reta que liga dois vrtices no consecutivos (A e C). 
Esse segmento  chamado diagonal. 
  Observe alguns polgonos nos quais foram traadas todas as diagonais possveis 
partindo de um nico vrtice. 

<R+>
_`[{polgonos: heptgono, octgono e enegono_`]
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Note que no heptgono no h diagonais ligando o vrtice A a ele mesmo, nem A ao 
B, nem A ao G. Dessa forma, podemos obter a quantidade de diagonais que partem de 
um nico vrtice por meio do seguinte clculo: 

<R+>
<F->
7-3=4
7: quantidade de vrtices ou lados do heptgono.
<P>
3: quantidade de vrtices no ligados ao vrtice A por diagonais.
4: quantidade de diagonais que partem de um nico vrtice do heptgono.
<F+>
<R->

  O heptgono possui 4 diagonais que partem de um mesmo vrtice. 
<88>
  Do mesmo modo, podemos calcular a quantidade de diagonais que partem de um nico vrtice no octgono e no enegono. 
<F->

<R+>
octgono :> 8-3=5 :> 5 diagonais que partem de um nico vrtice 
enegono :> 9-3=6 :> 6 diagonais que partem de um nico vrtice 
<R->
<F+>

Saiba que...

  Em um polgono de *n* lados ou vrtices, a quantidade 
de diagonais *d* que partem de um nico vrtice  calculada por: d=n-3

  Agora, observe os polgonos da pgina 272 com todas as suas diagonais traadas. 

<R+>
_`[{polgonos: heptgono, octgono, enegono_`]
<R->

  Podemos obter a quantidade total de diagonais do heptgono da seguinte forma: 
<R+>
 Multiplicamos a quantidade de diagonais que partem de um nico vrtice pela quantidade 
de vrtices ou lados desse polgono. 
<R->

<R+>
7-3'7=28
 7-3: quantidade de diagonais que partem de um nico vrtice.
 7: quantidade de lados ou vrtices do heptgono.
<R->

<R+>
 Os segmentos {a{c e {c{a representam uma mesma diagonal, e isso acontece com todos os segmentos que ligam 
vrtices no consecutivos do heptgono. Para que cada diagonal no seja con-
<P>
  tada duas vezes, devemos dividir 
o resultado anterior por 2. 
<R->
 
282=14 

  Assim, o heptgono possui um total de 14 diagonais. 
  Veja o mesmo clculo para o octgono e o enegono. 

<R+>
octgono: ?8-3'8*2=20 diagonais.
 enegono: ?9-3'9*2=27 diagonais.
<R->
 
Saiba que...

  Em um polgono de *n* lados ou vrtices, a quantidade de diagonais *D*  calculada por: D=?n-3'n*2

<89>
Atividades 

<R+>
1. Copie no caderno e complete, substituindo cada lacuna pelo nmero ou palavra adequada. 
<P>
 a) Um polgono que tem 6 lados tem ... vrtices. 
 b) Um polgono tem no mnimo ... lados.  
 c) Um polgono de 12 lados possui ... diagonais. 
 d) Todo ... tem 2 diagonais. 
 e) O ... tem ... diagonais.
<R->
 
<R+>
2. Utilizando a frmula, determine a quantidade de 
diagonais que partem de um nico vrtice de cada polgono a seguir. 
<R->

_`[{figuras adaptadas_`]

<F->
Polgono de sete lados.
Polgono de cinco lados.
Polgono de seis lados.
Polgono de doze lados.
<F+>

<R+>
3. Determine a quantidade de diagonais de um polgono que possui: 
<R->
 a) 5 lados 
 b) 13 lados
 c) 20 lados 
 d) 15 lados
 e) 18 lados 
 f) 23 lados 

<R+>
_`[{para as atividades 4 a 6, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
4. Quantas diagonais faltam nos polgonos a seguir 
para que sejam traadas todas as suas diagonais? 
<R->

_`[{figuras adaptadas_`]

<R+>
Polgono de onze lados. De um nico vrtice partem oito diagonais.
 Polgono de dez lados. De cinco vrtices diferentes parte uma diagonal.
<R->

<R+>
5. A forma geomtrica espacial _`[no adaptada_`]  formada 
por 12 faces em forma de pentgono e 20 em 
forma de hexgono. 
 Se traarmos todas as diagonais de cada face, 
quantas diagonais traaremos ao todo? 
<R->
Desafio
<R+>
 6. No interior de cada polgono amarelo _`[no adaptado_`] foi desenhado outro polgono. 
 a) Em cada figura _`[no adaptada_`] quantas diagonais do polgono 
amarelo no representam diagonais do polgono azul?
 b) Quantas diagonais faltam em cada polgono 
azul _`[no adaptado_`] para que fiquem traadas todas as suas diagonais? 
<R->

<90>
ngulos de um polgono 

  Em um polgono podemos destacar os seus ngulos internos e externos. Os ngulos 
internos so formados por dois lados consecutivos do polgono e os ngulos externos 
so obtidos prolongando-se um dos lados do polgono. 
<P>
ngulos internos

_`[{figura adaptada_`]

<F->
       D            C
       ----------------
       :d        :c  
                         
                             
                                 
   :a                :b              
 --------------------------u
 A                        B
<F+>
<P>
ngulos externos

_`[{figura adaptada_`]

<F->                                               
                       
         D   :g     
 ------------------ C
     :h            
                               
                          
                              
                        :f             
 A ccccccccccccccccccccccccc
    :e                B
<F+>

  Veja como podemos calcular a soma das medidas dos ngulos internos dos seguintes polgonos. 

<F->
H    G
 pcccc 
 l     
 l      
 l       
 l           
 l         
 v----------u
E          F

         M
         ^
       ^   ^
     ^       ^
N ^           ^ L
                
               
              
      -------
     I      J

      S    R
      *:::::?
     *       ?
    *         ?
T *           ? Q
   e           i
    e         i
     e       i
      e:::::i
      O    P
<F+>

  Primeiramente, decompomos cada um dos polgonos em tringulos. Para isso, traamos todas as dia-
<P>
gonais a partir de um nico vrtice. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

  Como a soma das medidas dos ngulos internos de um tringulo  180}, basta multiplicar 180} pela quantidade de tringulos 
obtida em cada polgono para obter a soma dos ngulos internos de cada um deles. 

<R+>
<F->
Quadriltero: 2'180}=360}. A soma das medidas dos ngulos internos de um quadriltero  360}.
Pentgono: 3'180}=540}. A soma das medidas dos ngulos internos de um pentgono  540}.
Hexgono: 4'180}=720}. A soma das medidas dos ngulos internos de um hexgono  720}.
<F+>
<R->

<91>
  Observe a quantidade de lados e de tringulos obtidos em cada polgono. 

<R+>
_`[{tabela adaptada em quatro colunas; contedo a seguir_`]

1 coluna: polgono
 2 coluna: quantidade de lados
 3 coluna: quantidade de tringulos obtidos
 4 coluna: soma das medidas dos ngulos internos
<R->

<F->
<R+>
Quadriltero; 4; 2; 2'180}=360}
Pentgono; 5; 3; 3'180}=540}
Hexgono;	6; 4; 4'180}=720}
<R->
<F+>

  Note que a quantidade de tringulos obtidos em cada polgono  igual  quantidade 
de lados menos 2, ou seja, em um polgono de *n* lados so obtidos n-2 tringulos, 
traando todas as diagonais a partir de um nico vrtice. Dessa forma, a soma das 
medidas dos ngulos internos S de um polgono de *n* lados  calculada por: 

S=n-2'180} 

  Agora, veja como podemos verificar a soma das medidas dos ngulos externos de um polgono.

  Na primeira imagem de cada sequncia, o polgono aparece com seus ngulos 
externos destacados. A prxima imagem de cada sequncia apresenta os ngu-
los externos sendo recortados e, em seguida, encaixados. 

_`[{imagens no adaptadas_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Podemos notar, pelas imagens, que a soma das medidas dos ngulos externos 
de um polgono  sempre 360}. 

<92>
  Observe o polgono a seguir. 

<R+>
_`[{figura: um pentgono com todos os lados medindo 2,7 cm e todos 
<P>
  os ngulos internos medindo 108}_`]
<R->

  Note que os ngulos e os lados desse polgono possuem a mesma medida. 
  Por isso, dizemos que esse polgono  regular. 

Saiba que...

  Um polgono que possui todos os ngulos e todos os lados com a mesma medida  chamado polgono regular. 

Atividades 

<R+>
7. Calcule, no caderno, a soma das medidas dos ngulos internos dos polgonos a seguir. 
<R->

_`[{figuras adaptadas_`]

<R+>
a) Polgono de sete lados.
 b) Polgono de onze lados.
<P>
 c) Polgono de nove lados.
 d) Polgono de oito lados.

8. Descubra a medida do ngulo interno desconhecido de cada polgono a seguir. 

_`[{figuras adaptadas_`]

a) Quadriltero {a{b{c{d com seus ngulos internos medindo: :b=116}, :c=90} e :d=106}.
 b) Pentgono {e{f{g{h{i com seus ngulos internos medindo: :e=90}, :f=135}, :g=72} e :i=112}.
 c) Hexgono {j{l{m{n{o{p com seus ngulos internos medindo: :j=126}, :l=82}, :m=144}, :n=119} e :p=127}.
<R->

<R+>
9. Efetue os clculos e calcule a medida dos ngulos internos de cada polgono. 
<R->
<P>
_`[{figuras adaptadas_`]

<R+>
Figura 1: tringulo {a{b{c, com os ngulos internos medindo: 4x-21}, 2x e x+19}.
 Figura 2: quadriltero {d{e{f{g, com os ngulos internos medindo: 2x+6}, 3x+16}, 3x-10} e 6x-86}.

 10. Calcule, no caderno, a soma das medidas dos ngulos internos de um polgono que tem: 
  2 diagonais 
  5 diagonais 
  nenhuma diagonal  
<R->

<R+>
 11. No caderno, determine a medida de cada ngulo interno dos polgonos regulares a seguir. 
<R->

_`[{figuras adaptadas_`]

<R+>
a) Polgono regular de 6 lados.
 b) Polgono regular de 10 lados. 
 c) Polgono regular de 8 lados.
 d) Polgono regular de 12 lados.
<R->

<93>
<R+>
 12. No caderno, determine a quantidade de lados de um polgono regular cuja soma dos ngulos internos : 
<R->
 a) 360} 
 b) 1.800}
 c) 1.440}
 d) 1.080} 

<R+>
 13. Sem realizar medies, obtenha a medida do ngulo externo de cada polgono regular e escreva-a no caderno. 
<R->

_`[{figuras adaptadas_`]

<R+>
a) Polgono de 5 lados.
 b) Polgono de 10 lados.
 c) Polgono de 8 lados.
 d) Polgono de 6 lados.
<R->

<R+>
14. Calcule, no caderno, a medida de cada ngulo 
indicado nos 
<P>
  quadrilteros. _`[{no adaptados_`] 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

15. Escreva, no caderno, o nome do polgono correspondente s informaes de cada quadro. 
<R->

_`[{quadros adaptados_`]

<R+>
<F->
A:
 A soma dos ngulos internos  360}. 
 Todos seus ngulos tm medidas iguais. 
B: 
 So 12 o total de vrtices.
 A medida de cada ngulo externo  30}.
C: 
 Possui 5 diagonais.
 A medida de cada ngulo interno  180}.
<R->
<F+>
<P> 
<R+>
16. No caderno, calcule a medida dos ngulos externos de cada polgono. _`[{no adaptado_`]
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<94>
Complementando... 

<R+>
17. Quantos lados tem o polgono em que de um 
nico vrtice partem 7 diagonais?  
<R->
<R+>
 18. Quantas diagonais partem 
do vrtice comum aos trs 
hexgonos? _`[{no adaptado_`] 
<R->
 
<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
19. Qual  o polgono que possui a mesma quantidade de lados e diagonais?  
<R->
<R+>
 20. Qual  a medida de *x* em um quadriltero de ngulos 
internos 
  de medidas iguais a *x*, 2x+13}, 3x+8} e 4x-16}? 
<R->
<R+>
 21. Qual  a soma das medidas dos ngulos internos do polgono do qual partem, de cada vrtice, trs diagonais?  
<R->
<R+>
 22. Que polgono possui a soma das medidas dos 
ngulos internos igual  dos ngulos externos?
<R->
<R+>
 23. Quantas diagonais tem o polgono cuja soma 
das medidas dos ngulos internos  1.440}? 
<R->

<R+>
24. Observe os polgonos desenhados na malha triangular. _`[{no adaptada_`]
 Sabendo que a malha  formada por tringulos 
equilteros, resolva os itens a seguir. 
 a) Determine a medida de cada ngulo interno 
dos polgonos.  
 b) Calcule a soma das medidas dos ngulos internos 
de cada um deles.
<R->
 
<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
25. Quanto mede um ngulo interno de um polgono regular de: 
<R->
 a) 3 lados?
 b) 4 lados? 
 c) 5 lados? 

<R+>
26. Qual  a frmula para calcular a medida *m* do ngulo 
interno de um polgono regular de *n* lados?
<R->
<R+>
 27. Que polgono regular possui cada ngulo interno de 140}?  
 28. Calcule a medida do ngulo :a.

_`[{figura adaptada_`]

Hexgono no regular com as seguintes medidas dos ngulos 
  externos: 36}, 98}, :a, 53}, 58}, 61}.

29. Calcule, no caderno, o valor de *x* e as medidas dos ngulos externos do tringulo. 
<R->
<P>
<F->
        
           
   x+27} 
          
           
            
             
               3x-82}
    ---------------------
    2x-5}     
        
<F+>

<R+>
30. Quanto mede um ngulo externo de um polgono regular de: 
 a) 3 lados?
 b) 4 lados? 
 c) 5 lados? 

 31. Qual  a frmula para calcular a medida *m* do ngulo 
externo de um polgono regular de *n* lados?
<R->
<R+>
 32. Dois ngulos internos de um polgono medem 
juntos 122} e os demais ngulos internos medem 
119} cada um. Qual  o nmero de lados do polgono? 
<R->

<R+>
_`[{para as atividades 33 e 34, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
Desafio
 33. Sabendo que no mosaico _`[no adaptado_`] todos os hexgonos 
so regulares, determine a medida dos ngulos internos dos tringulos e dos losangos. _`[no adaptados_`]
<R->

<R+>
 34. (OBMEP) Na figura, _`[no adaptada_`] os tringulos {a{b{c e {d{e{f so equilteros de lados 14 cm e 13 cm, respectivamente, e os 
lados {b{c e {e{f so paralelos. 
<R->
<R+>
 a) Calcule a medida do ngulo :{e{u{t. 
 b) Calcule o permetro do polgono {p{q{r{s{t{u.  
 c) Se o segmento {p{q mede 6 cm, qual  a medida do segmento {s{t?
<R->
<P>
<95>
Algo a mais 

O que so os fractais?

  No  fcil entender nem definir essas formas, que mais parecem pinturas *psicodlicas* 
e so fruto de uma verdadeira revoluo em dois ramos da Matemtica: 
a Geometria e a Estatstica. Desde o sculo IV a.C. at poucas dcadas atrs, o estudo 
das figuras geomtricas se baseava em formas puras, como os crculos, os quadrados 
e os tringulos, que aprendemos ainda no primrio.  a chamada geometria 
euclidiana, que deve seu nome ao matemtico egpcio Euclides. Formas exatas e 
perfeitas como essas so abstraes impossveis de serem encontradas na natureza. 
E  justamente na natureza que estava oculta a geometria fractal, descoberta 
entre as dcadas de 60 e 70 tanto nos estudos das variaes climticas pelo meteorologista 
americano Edward Lorenz quanto nas estatsticas visualizadas em computador 
pelo matemtico polons 
 Benoit Mandelbrot, o homem que deu nome s 
fractais. O que elas mostravam  que processos aparentemente irregulares como 
ramificao de uma rvore ou recorte geogrfico de um litoral seguem, na verdade, 
um padro -- que, por sua vez, obedece a uma frmula matemtica. A est a caracterstica 
principal da geometria fractal, batizada de autossimilaridade: so formas 
cujas partes sempre reproduzem o todo. "No existe uma definio precisa, mas 
podemos dizer que uma figura  um fractal quando ela  formada por diversas partes, 
que lembram, cada uma, o desenho da figura inteira", diz o matemtico americano 
Michael Frame, da Universidade Yale, nos Estados Unidos, coautor, junto 
com 
 Mandelbrot, do livro *Chaos 
 Under Control: The Art and 
 Science of complexity* 
("Caos sob controle: a arte e a cincia da complexidade"), que explora esse tema. 

<R+>
SUPERINTERESSANTE MUNDO 
  ESTRANHO. So Paulo: Abril, ano 16, n.o 1, abr. 2002. Edio especial. 
<R->

<R+>
*psicodlico*: diz-se de imagens, objetos etc., de cores muito vivas, totalmente fora dos padres costumeiros 
<R->

  Veja a seguir alguns fractais _`[no adaptados_`] gerados com o uso do computador a partir de equaes matemticas. 
<96>
   possvel, tambm, construir alguns fractais utilizando instrumentos, como rgua, 
compasso, lpis e esquadros. No exemplo, 
 _`[no adaptado_`] desenhamos, inicialmente, um 
tringulo equiltero e dividimos cada um de seus lados em trs partes iguais. A partir 
da, construmos novos tringulos equilteros e repetimos o processo sucessivamente, 
obtendo as figuras. _`[No adaptadas_`] 

<R+>
1. Quando e como foi descoberta a geometria fractal? 
 2. Quando uma figura  um 
  fractal? 
 3. Junte-se a um colega e, utilizando os instrumentos necessrios, construam um fractal. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<97>
Atividades de reviso 

<R+>
1. Escreva, no caderno, a medida do complementar e do suplementar de cada ngulo a seguir. 
<R->

_`[{figuras adaptadas_`]

<R+>
a) Transferidor com medida igual a 103}
 b) Transferidor com medida igual a 27}
<P>
 c) Transferidor com medida igual a 142}
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
 2. Medida do ngulo :?{a{o{c*  o triplo da medida do 
ngulo :?{b{o{c*. Sabendo que esses ngulos so 
suplementares, calcule no caderno a medida de cada um deles. 
<R->

<R+>
 Ateno: Para resolver esta atividade, chame a medida do ngulo
:?{b{o{c* de *x* e escreva uma equao. 
<R->

<F-> 
                 C
                ^
              ^
            ^
          ^
 ------------------              
 A     O        B       
<F+>

<R+>
3. Copie as sentenas no caderno, substituindo 
cada lacuna pelo ngulo correspondente. 
<R->

<F->
                      t
                     ^
               :a ^ :b
r :::::::::::::::^::::::::
           :d ^ :c
             ^
       :e ^ :f
s :::::::^::::::::::::::::
   :h ^ :g
     ^ 
<F+>

<R+>
 a) Os ngulos :a e ''' so alternos externos. 
 b) :d e ''' so ngulos suplementares. 
 c) Os ngulos ''' e :b so alternos externos. 
 d) Os ngulos :f e ''' so correspondentes. 
 e) :d e ''' so ngulos opostos pelo vrtice. 
 f) Os ngulos ''' e ''' so alternos internos. 
<P>
 g) Os ngulos ''' e ''' so suplementares. 
<R->

<R+>
_`[{para as atividades 4 e 5, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
4. De acordo com a figura, copie as frases em seu caderno, substituindo cada lacuna por: 
complementares, suplementares, opostos pelo vrtice, alternos internos ou alternos externos. 
<R->
<P>
<F->
r_ls
  
         u                  t
         _                ^
         _              ^
         _        :a ^ :d
 s ------_------------------
         _    :b ^ :c    
         _      ^
         _:f ^
         _  ^
     :g _^ :e
 r ------_------------------
   :h ^_ :j
     ^  _
   ^ :i_
<F+>

<R+>
 a) Os ngulos :a e :b so ...
 b) :g e :j so ngulos ...
 c) Os ngulos :e e :f so ...
 d) Os ngulos :d e :h so ...
 e) :e e :b so ngulos ...
 f) Os ngulos :a e :c so ..., e os ngulos :b e :c so ...
<R->
<P>
<98>
<R+>
5. Determine a medida de cada um dos ngulos indicados na imagem a seguir. 
<R->

<F->
r_ls_lt

                  
                   
                    
                      x+60}
r -----------------------------
                          	
                         
   120}                 
s -----------------------------
                                                          
                            
                        70}              
t -----------------------------
                                              
 3x-15}                       
                                  
<F+>

<P>
<R+>
 6. Na figura a seguir, a semirreta {o{b  a bissetriz do ngulo :?{a{o{c*. 

<F->
       C
          B
         ^
       ^
     ^
   ^ 41}
  ---------         
  O       A
<F+>

 Qual  a medida do ngulo: 
<R->
 :?{b{o{c*? 
 :?{a{o{c*?

<R+>
_`[{para as atividades 7 e 8, pea orientao ao professor_`]
<R->

Desafio
<R+>
 7. Calcule a medida dos ngulos :a, :b, :c e :d nos polgonos. _`[{no adaptados_`]
<R->

<R+>
Ateno: As retas *r* e *s* so paralelas. 
<R->
<P>
<R+>
8. Desenhe um polgono que possui: 
<R->
  9 diagonais 
  20 diagonais 
  5 diagonais 
<R+>
 Classifique quanto  quantidade de lados os polgonos que voc desenhou. 
<R->

<R+>
9. Calcule, no caderno, a soma das medidas dos ngulos internos de um polgono de: 
<R->
 a) 7 lados 
 b) 10 lados
 c) 12 lados  
 d) 8 lados  

<R+>
10. Qual  a medida de cada ngulo interno de um: 
<R->
 a) pentgono regular? 
 b) octgono regular?  
 c) decgono regular?  
 d) dodecgono regular? 

<R+>
11. Entre os polgonos a seguir, escreva em seu caderno 
quais possuem a soma das medidas dos ngulos internos maior que 540}. 
<R->

_`[{figuras adaptadas_`]

a) Hexgono.
 b) Tringulo. 
 c) Heptgono.
 d) Pentgono.

Desafio
<R+>
 12. Qual  o polgono cuja medida de cada ngulo interno : 
<R->
 a) 162}?
 b) 60}? 
 c) 120}? 

<R+>
13. Sabendo que a soma das medidas dos ngulos internos do pentgono a seguir  540} e 
que med`(:a`)=med`(:c`), calcule no caderno a medida do ngulo externo *x*. 
<R->
<P>

<F->    
              
          B  :x
            
             
              
               
                
                 
   A  130}       C
      l            _
      l            _
      r::      !::w
      l_-_      l_-_
   E v--#------v--# D
<F+>

<R+>
14. Calcule, no caderno, a medida de cada ngulo 
interno do polgono _`[no adaptado_`] sem realizar medies. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
<99>
Lendo textos

Astronomia a olho nu 

  [...] 
  Eratstenes era um bibliotecrio de Alexandria, no 
Egito. De to curioso, se tornou astrnomo. Isso porque 
leu num papiro que em Siena (atual cidade de Assu) 
havia um poo no qual era possvel ver a imagem do Sol 
projetada por inteiro no dia do solstcio de vero, poca 
que marca o incio dessa estao no hemisfrio norte. 
Deduziu que, se um *gnmon* fosse colocado junto ao 
poo, no projetaria sombra. Ele tambm sabia que em 
Alexandria, no mesmo dia, o Sol projetava uma sombra 
cujo ngulo era de 7,2} e que a distncia entre a cidade 
onde vivia e Siena era de 800 quilmetros (5 mil estdios, 
na medida da poca). 
  A geometria nos ensina que, se duas retas paralelas 
interceptam uma transversal, os ngulos correspondentes 
sero iguais (como o esquema). _`[{no adaptado_`] Se imaginarmos 
dois raios partindo do centro da Terra at as duas 
cidades, eles tambm formariam um ngulo de 7,2}. Por 
meio de uma regra de trs, Eratstenes deduziu que 7,2} 
est para 800 quilmetros assim como 360} corresponde 
 circunferncia terrestre. O resultado, de 40 mil quilmetros, 
ficou bastante prximo do [...] [comprimento] 
verdadeiro da Terra, calculado muitos sculos mais tarde 
por satlites em 40.075 quilmetros -- uma margem 
de erro de 0,19%! [...] 

7,2}800 km=360}x :> 
  x=40.000 km

<R+>
PRADO, Ricardo. Astronomia a olho nu. *Nova Escola*. So Paulo: Abril, 
ano 17, n.o 
  153, jun./jul. 2002. p. 30-2.

a) Qual  a diferena, em quilmetros, entre a medida obtida por Eratstenes para o comprimento 
da circunferncia da Terra e o calculado atualmente por satlites? 
 b) Eratstenes, conforme esquema _`[no adaptado_`], deduziu que os ngulos :b e :c tm a mesma medida. 
Quais so os segmentos paralelos e o transversal que 
  originaram os ngulos :b e :c? Como so chamados esses ngulos? 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Terceira Parte